1- Lire la nature

1.1- Formes de la nature

Pourquoi une bulle de savon qui flotte dans l’air semble être une sphère parfaite ?
Pourquoi la nature crée-t-elle des structures régulières et des mouvements prévisibles comme la chute des corps ?

Pour répondre, les mathématiciens utilisent des modèles simples: cercle et sphère, carré et cube, hélice, coniques…
De l’infiniment grand à l’infiniment petit, du télescope au microscope, la nature révèle des formes de plus en plus complexes, des spirales aux fractales.

Des nombres, des relations comme les équations différentielles tentent d’expliquer pour mieux les comprendre des phénomènes aussi complexes que la vie sur Terre ou l’organisation de l’Univers.

Expérience sur table

Spirales dans la nature

Choisissez une pomme de pin, un ananas…
Combien y a-t-il de spirales dans un sens ? dans l'autre ?

Que retenir ?

Les graines de certains fruits, les pétales de certaines fleurs, les feuilles de certains arbres, se répartissent toujours suivant la même suite de nombres : chaque nombre de la suite est la somme des deux précédents.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Ainsi, dans la pomme de pin, l'ananas, la fleur de tournesol, ... les nombres de spirales dans chaque sens sont des termes consécutifs de cette suite appelée suite de Fibonacci.
Sur le nautile (cf panneau), les segments tangents verticaux (ou horizontaux) à la spirale ont des longueurs qui se retrouvent aussi dans cette suite. Idée & Réalisation : Centre•Sciences & Tokai University

1.2- Le monde est-il fractal ?

Comment représenter la forme d'une rivière très sinueuse, d'une côte très découpée ?
La forme d'un nuage, d'une flamme ou d'une soudure ?
Peut-on calculer la dimension des galaxies dans l'Univers ?
Comment varie l'activité sur le réseau Internet ?

Observez une feuille de fougère : elle est construite par reproduction d'un même motif à des échelles de plus en plus petites.
Une telle structure qui apparaît souvent dans la nature a permis à Benoit Mandelbrot de développer la géométrie fractale.
Les fractales sont des formes telles que les détails se reproduisent à différentes échelles. Benoit Mandelbrot (1924-2010)

Expérience sur table

Dessine-moi une fractale !

Choisissez un des dessins et reproduisez son motif en 3 fois plus grand à l'aide des petites pièces.
Recommencez en 3 fois plus grand encore.

Que retenir ?

Et si vous pouviez répéter le processus à l’infini.
Vous obtiendriez un objet où chaque partie ressemble au tout, à une homothétie près.
Il s'agit d'un objet fractal.
Ces objets, étudiés depuis le 19ème siècle, sont aujourd'hui popularisés par l'usage des ordinateurs. Idée & Réalisation : Sierpinski & Centre•Sciences

1.3- Tous en orbite !

Quelles trajectoires décrivent les planètes, les satellites naturels ou artificiels de notre univers ?

Kepler a montré que ces trajectoires sont des coniques – ellipses, paraboles, hyperboles.
Les comètes qui reviennent périodiquement se déplacent sur des trajectoires elliptiques très aplaties.

Pour quitter l’attraction du système solaire, un satellite doit quitter une trajectoire elliptique pour se placer sur une trajectoire hyperbolique.
Pour suivre et piloter les satellites artificiels de plus en plus nombreux, on utilise des chapelets d’antennes … paraboliques.

Expérience sur table

Sections coniques

Placez une de ces plaques sur le cône. Que voyez-vous ?
Un cercle ? Une ellipse ?
Une parabole ? Une branche d’hyperbole ? Pourquoi ?

Que retenir ?

Si la plaque est horizontale, vous obtenez un cercle.
Si elle est parallèle à l’un des rayons qui génèrent le cône, vous avez une parabole.
Entre les deux, vous aurez une ellipse ou une branche d’hyperbole.
Les lois de la gravitation, établies par Kepler puis Newton, montrent que les orbites des corps célestes s’appuient sur l’une de ces courbes. Idée & Réalisation : Centre•Sciences