5- Pourquoi calculer ?

5.1- Trompé par mon ordinateur !!!

Quels nombres utilisons-nous aujourd’hui dans la vie quotidienne ?
Pour compter, nous avons utilisé les nombres entiers puis les décimaux, les réels et même les nombres complexes. Qu’en est-il dans notre vie de tous les jours ? Que l’on utilise une calculette ou un ordinateur puissant ?


Sur le marché, il vaut mieux savoir faire un rapide calcul mental.
L’ordinateur, lui, n’utilise que des nombres décimaux avec seulement quelques décimales.
Les lois mathématiques n’y sont plus respectées.

Du comptable à l’ingénieur aéronautique, les erreurs d’approximation doivent alors être maîtrisées, de l’infiniment petit à l’infiniment grand. Et, dans ce domaine, les outils informatiques ne sont pas des outils fiables.

Expérience sur table

Calculez avec les mains

Avec les deux mètres ruban, trouvez la somme :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 20 (ou 30 ou ••• n)

Avec les blocs de bois, trouvez la limite de la somme :
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + … = ?

Que retenir ?

La question se rapporte à un mathématicien célèbre, Gauss (1777-1855).
Quand il avait huit ans, à l'école primaire, on lui a demandé de trouver la somme des nombres entiers de 1 à 100.
Gauss a remarqué que s'il séparait les nombres dans deux groupes (1 à 50 et 51 à 100), il pourrait les ajouter ensemble pour obtenir toujours une somme de 101 : 1 - 100 = 101 / 2 + 99 = 101 / 3 + 98 = 101 et ainsi de suite... Idée & Réalisation : Gauss... & Centre•Sciences

5.2- @cheter en toute sécurité ?

Peut-on acheter sur internet en toute sécurité ?
Avec l’essor du web, la cryptographie - science du codage - est devenue un enjeu capital des banques et de nos achats en ligne.


Le secret des cartes bancaires est basé sur un nombre de plus de 100 chiffres, produit de 2 nombres premiers*, indispensables pour le décodage.
Les progrès de l’informatique permettent aujourd’hui de trouver, de plus en plus vite, les diviseurs de nombres de plus en plus grands.

Mathématiciens, physiciens et informaticiens cherchent de nouvelles méthodes de codages sécurisés, utilisant en particulier les lois étranges de la physique quantique.
*Est premier tout nombre entier ≥ 1 qui n’est divisible que par 1 et lui-même.
Les premiers sont : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23… et il y en a une infinité.


Expérience sur table

Jouez au 421

Chaque joueur lance les 3 dés.
Gagne celui qui fait 4-2-1 ou
le plus grand nombre premier*.

Que retenir ?

Dans la liste des nombres entiers, les nombres premiers semblent arriver au hasard.
Et pourtant, il y en a une infinité, mais plus on va vers les grands nombres, moins on a de chance d’en trouver. On dit qu’ils se raréfient. * Est premier tout nombre entier, autre que 1, qui n’est divisible que par 1 et lui-même. Idée & Réalisation : Centre•Sciences

5.3- Débruitage à Corfou

Comment récupérer des images numériques qui ont été détériorées à la suite de problèmes d’appareil photo, de transmission ou de réception ?
Comment envoyer et recevoir des images de qualité par Internet et Haut débit ?

Pour cela, les mathématiciens mettent au point des algorithmes de débruitage d’images qui s'illustrent grâce à des méthodes de cartographie : l’intensité lumineuse de chaque pixel de l’image est traduite par une “altitude”.

L’image se traduit par une carte en relief où le bruit correspond à un terrain accidenté. On régularise le relief en conservant les “lignes de niveaux” essentielles et l'on obtient une image sans les détéroriations.


Expérience sur table

Débruitez l’image de votre main !

Soulevez l’écran d’épingles avec une main.
Où y a-t-il des erreurs ? Comment les éliminer ?

Que retenir ?

Pour retrouver et traiter les erreurs dans les transmissions d’images, les mathématiciens utilisent aujoud’hui des méthodes et des algorithmes inspirés des cartographes.

On les retrouve aujourd’hui dans des outils informatiques tels que Photoshop.
Le lissage lisse les bords crénelés d’une sélection en adoucissant la transition de couleur entre les pixels du bord et ceux de l’arrière-plan.
* Pour en savoir plus, lire le panneau Idée & Réalisation : Georges Koepfer (Paris) & Centre•Sciences

© Photos : Jennifer Plantier, Muséum de Lyon