9.1- Preuves et démonstrations
Le doute existe-t-il en mathématiques ?
Peut-on s’y satisfaire d’un faisceau de présomptions même à 99% ?
La démonstration est à la base de l’activité du mathématicien et en fait son originalité.
Des premières preuves simples, écrites en quelques lignes, et compréhensibles par un bachelier, nous sommes aujourd’hui passés à des preuves qui représentent des centaines de pages, qui nécessitent l’utilisation d’ordinateurs et qui ne sont vérifiables que par un petit nombre de spécialistes.
La complexité du monde interroge de plus en plus le mathématicien qui doit, pour y répondre, mettre en œuvre des hypothèses et des modèles dont il faut ensuite prouver la pertinence.
Expérience sur table
Sous le sable, Le théorème !
Tournez le disque et
le Théorème de Pythagore apparait !
Que retenir ?
Ce théorème provoqua l'une des premières crises qui ont permis le développement des mathématiques.
Avant cette période, chacun pensait que toute longueur, surface, volume et autres objets géométriques pouvaient être mesurés avec des nombres entiers ou fractionnaires.
Les Pythagoriciens découvrirent et démontrèrent que la diagonale d'un carré de côté "1" ne pouvait être mesurée par de tels nombres. Les nombres irrationnels étaient nés.
Idée & Réalisation : Centre•Sciences
9.2- de Pythagore à Wiles
Comment démontrer des hypothèses qui semblent vraies ?
Existe-t-il des nombres entiers tels que X2 + Y2 = Z2 ?
Et tels que Xn + Yn = Zn pour n supérieur à 2 ?
Les Grecs ont été les premiers à essayer de résoudre de tels problèmes. Ainsi, Pythagore donna son nom au théorème sur “le Carré de l’hypoténuse…” dont Euclide a fourni la plus ancienne preuve connue.
Fermat formule ensuite l’hypothèse que ce résultat n’est pas généralisable.
Andrew Wiles démontre cette conjecture en 1994 !
Il utilisa pour cela les résultats des plus récentes recherches dans plusieurs domaines des mathématiques.
Les mathématiciens s’efforcent régulièrement de faire connaître les grands problèmes qui restent à démontrer.
- Pythagore (6è avt J.-C.) - Euclide (3è avt J.-C.)
- Pierre de Fermat (1601-1665) - Andrew Wiles (Cambridge, 1953)
Expérience sur table
Cube + Cube + Cube = Cube
Avec ces blocs, construisez 3 cubes de côtés 3, 4 et 5.
Puis , avec tous les blocs, construisez un gros cube de côté 6
et vérifiez ainsi que 33 + 43 + 53 = 63.
Que retenir ?
Un mathématicien célèbre, le Français Pierre de Fermat (1604-1665) affirma que l'équation Xn + Yn = Zn n'a pas de solutions entières pour n supérieur à 2 autres que des solutions avec des zéros.
Il faudra attendre 1994 pour que l'anglais Andrew Wiles en apporte définitivement la preuve après 350 ans de recherche.
Depuis les temps les plus anciens, les nombres et les opérations arithmétiques exercent une fascination.
En arithmétique - la reine des mathématiques" selon Gauss - certaines questions anciennes, comme celles posées par Fermat, s'énoncent très simplement et n'ont toujours pas trouvé de solution.
Idée & Réalisation : Centre•Sciences
9.3- Vrai et pourtant… indémontrable !
Pouvons-nous toujours démontrer quelque chose que nous savons être vrai ?
En 1931, Kurt Gödel, dans un véritable coup de théâtre, a répondu par la négative avec son fameux théorème dit "d'incomplétude".
Il a prouvé que les deux notions de vérité et de démontrabilité ne coïncident pas en découvrant une formule sur les nombres entiers qui est vraie mais indémontrable dans l'arithmétique élémentaire.
Plus surprenant, Gödel démontre dans le même esprit qu'en arithmétique, on ne peut ni réfuter ni démontrer qu'on n'aboutira jamais à une contradiction.
L'arithmétique élémentaire est de plus indécidable. Cela entraîne par exemple qu'il est impossible d'écrire un programme informatique qui vérifierait si une formule quelconque sur les entiers est vraie ou non.
Kurt Gödel (1906-1978)
Expérience sur table
Carré + Carré = Carré !
Faites un carré avec les 4 pièces non carrées.
Puis un autre carré avec les 5 pièces.
Que retenir ?
Deux carrés peuvent être découpés pour former un seul carré plus grand.
C’est le principe de ce puzzle de Pythagore.
Avec 2 puzzles de ce type, pourriez-vous faire un carré 2 fois plus grand ? Essayez de le faire chez vous !
Three for four, four for three…
Avec les 4 pièces bicolores, construisez un carré puis un triangle.
Que retenir ?
Comment transformer une table carrée pour 4 personnes en une table triangulaire pour 3 couverts ? Vous avez 2 solutions techniques pour résoudre ce problème !
En mathématiques, il n’y a pas problème, seulement des solutions… à trouver !
Idée & Réalisation : Centre•Sciences
© Photos : Jennifer Plantier, Muséum de Lyon