3- Remplir l'espace

3.1- Bien empiler les oranges !

Comment empiler des oranges et occuper le moins de volume possible?

Sur les étalages, les oranges occupent 74% de l’espace.
C’est la disposition "cubique à faces centrée" que connaissent bien les cristallographie.
Kepler pensait déjà, il y a 4 siècles, que cette disposition était la meilleure. Cela n’a été démontré qu’en 1998 en étudiant, à l’aide d’ordinateurs, plus de 5000 cas particuliers.

Ce problème de la vie courante a des applications qui vont de l’étude des structures cristallines à la théorie des codages informatiques.
Mais si l’on veut remplir une boîte de forme quelconque, le problème est encore sans solution générale. Johannes Kepler (1571-1630)

Expérience sur table

Empilez, empilez !!!

A- Combien de disques peut-on placer dans un carré, de côté 1 ? de côté 2 ? 3 ? 4 ?... de côté 10 ???
B- Choisissez une boîte et empilez le maximum de billes.
Quel est l’empilement le plus dense ?

Que retenir ?

A- Dans un carré de coté 10, vous pouvez placer plus de 100 disques !
Dans le plan, la densité maximum obtenue par ces disques est de 90,6%. Il y a moins 10% de vide.
B- Dans l’espace à 3 dimensions, quand l’empilement est régulier, la densité maximum s'obtient (comme pour les réseaux cristallins) quand les billes sont aux sommets et aux centres des faces d’un empilement de cubes.
Cet empilement est appelé “empilement cubique à faces centrées”. Sa densité est de 74%. Pour des empilements de billes de diamètres différents ou de formes applaties, le problème de la densité maximum n’est pas encore résolu. Idée & Réalisation : Centre•Sciences & Polytech Paris

3.2- La sphère, de l’atome aux cristaux

Voûte céleste, Terre, atomes et particules élémentaires… Pourquoi la sphère (en tout ou partie) est-elle très souvent utilisée pour représenter des formes de la nature ?

A l’échelle microscopique, des phénomènes naturels peuvent être modélisés par des mouvements de sphères indéformables, librement mobiles ou subissant des collisions sans perte d’énergie

Si les atomes sont modélisés par des sphères, les cristaux sont considérés comme des empilements ordonnés, le plus souvent périodiques, d’atomes.
Ces phénomènes sont comme les éléments d’un jeu de billard infini à deux ou trois dimensions : ces modèles permettent l’étude des gaz, des liquides et de certains solides.

Expérience sur table

Des pyramides deux fois plus grandes

Avec ces petites pyramides,
construisez une pyramide deux fois plus haute.
Comparez les volumes des deux types de petites pyramides.

Que retenir ?

Une pyramide 2 fois plus haute a un volume 8 fois plus grand.
On peut ainsi, par recomposition, comparer le volume de ces deux types de pyramides.

Avec 3 hauteurs, on peut même retrouver la formule du volume de la pyramide : Volume = (Base x Hauteur)/3
Avec d’autres volumes, le problème d’empilement est en général plus compliqué. Idée & Réalisation : Centre•Sciences

3.3- Empilements : un problème complexe

Entre un kilo de café en grains et un kilo de café moulu, quel est celui qui occupe le plus petit volume ?
Ce petit problème prend des dimensions importantes si on veut transporter des tonnes de café !

Le problème devient très complexe si les objets sont de dimensions et de formes différentes et sont à transporter dans des containers bien définis.
Inversement, comment donner aux objets les meilleures dimensions pour remplir un volume donné ?

Ces problèmes, conditionnés aussi par le poids des objets, les coûts de transport, les frais de stockage, etc., n’ont pas encore trouvé de solution.

Expérience sur table

Un problème complexe : remplir un coffre

Remplissez au mieux ce wagon avec les blocs de bois.
Pour réussir, commencez par le compartiment cubique en n’utilisant que les caisses de 2x2 et de 1x1.

Que retenir ?

Dans la vie quotidienne, nous rencontrons régulièrement ce problème : mettre le maximum d’objets dans une boîte ou le mawimum de boîtes dans un coffre.
Pour les mathématiciens, entre autres, c’est un ... probleme complexe : plus il y a d’objets, plus il faut de temps pour trouver une solution. Et ce temps augmente de façon exponentielle avec le nombre d’objets. Idée & Réalisation : John Conway & Centre•Sciences