9 - Prouver - Démontrer - Prouving - 9

1 Preuves et démonstrations

Le doute existe-t-il en mathématiques ?
Peut-on s’y satisfaire d’un faisceau de présomptions même si c’est à 99%?
La démonstration est à la base de l’activité du mathématicien et en fait son originalité.
Des premières preuves simples, écrites en quelques lignes, et compréhensibles par un bachelier, nous sommes aujourd’hui passés à des preuves qui représentent des centaines de pages, qui nécessitent l’utilisation d’ordinateurs et qui ne sont vérifiables que par un petit nombre de spécialistes.
La complexité du monde interroge de plus en plus le mathématicien qui doit, pour y répondre, mettre en œuvre des hypothèses et des modèles dont il faut ensuite prouver la pertinence.

2 de Pythagore à Wiles

Comment démontrer des hypothèses qui semblent vraies ?
Existe-t-il des nombres entiers tels que X2 + Y2 = Z2 ? Tels que Xn + Yn = Zn pour n supérieur à 2 ?
Les Grecs ont été les premiers à essayer de résoudre de tels problèmes. Ainsi, Pythagore donna son nom au théorème sur “le Carré de l’hypoténuse…” dont Euclide a fourni la plus ancienne preuve connue.
Fermat formule ensuite l’hypothèse que ce résultat n’est pas généralisable. Wiles démontre cette conjecture en 1994 !
Il utilisa pour cela les résultats des plus récentes recherches dans plusieurs domaines des mathématiques.
Les mathématiciens s’efforcent régulièrement de faire connaître les grands problèmes qui restent à démontrer.
• Pythagore (6è avt J.-C.)
• Euclide (3è avt J.-C.)
• Pierre de Fermat (1601-1665)
• Andrew Wiles (Cambridge, 1953)

3 Vrai et pourtant… indémontrable!

Pouvons-nous toujours démontrer quelque chose que nous savons être vrai?
En 1931, Kurt Gödel, dans un véritable coup de théâtre, a répondu par la négative avec son fameux théorème dit "d'incomplétude".
Il a prouvé que les deux notions de vérité et de démontrabilité ne coïncident pas en découvrant une formule sur les nombres entiers qui est vraie mais indémontrable dans l'arithmétique élémentaire.
Plus surprenant, Gödel a aussi montré dans le même esprit qu'en arithmétique, on ne peut ni réfuter ni démontrer qu'on n'aboutira jamais à une contradiction.
L'arithmétique élémentaire est de plus indécidable. Cela entraîne par exemple qu'il est impossible d'écrire un programme informatique qui vérifierait si une formule quelconque sur les entiers est vraie ou non.
• Kurt Gödel (1906-1978)

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