9 - Probando - Prouver - Démontrer – 9

1: 3000 años de investigaciones

¿Existe la duda en las matemáticas?
¿Es posible darse por satisfecho con una serie de hipótesis cuando éstas son correctas en un 99%?
Las demostraciones constituyen la base de la actividad de los matemáticos y, de hecho, es lo que verdaderamente distingue a la suya de otras actividades.
Las primeras demostraciones eran sencillas, estaban escritas en unas pocas líneas y podía comprenderlas todo aquél que tuviera estudios medios. Hoy en día, existen demostraciones que ocupan cientos de páginas, para las que hay que hacer uso de ordenadores y de las que sólo pueden emitir un dictamen un reducido grupo de especialistas.
La complejidad del mundo plantea cada vez más preguntas a los matemáticos. Para responderlas, éstos tienen que construir modelos y demostrar a continuación lo adecuado de los mismos.

2 De Pitágoras a Wiles

¿Cómo puede uno demostrar las hipótesis que le parecen verdaderas?
¿Existen números enteros como X2 + Y2 = Z2? ¿O como Xn + Yn = Zn, cuando n es mayor que 2?
Los griegos fueron los primeros que trataron de resolver estos problemas. Fue entonces cuando Pitágoras dio su nombre al teorema sobre “el cuadrado de la hipotenusa...” o cuando Euclides formuló la demostración más antigua que se conoce.
Más tarde, Fermat afirmó que este resultado no se podía generalizar. ¡Y Wiles demostró esta hipótesis en 1994!
Para ello, se sirvió de los últimos trabajos de investigación realizados en un gran número de ámbitos de las matemáticas.
Por lo común, los matemáticos se esfuerzan en llamar nuestra atención sobre los grandes problemas aún por resolver.

• Pitágoras(siglo VI a. C.)
• Euclides (siglo III a. C.)
• Pierre de Fermat (1601-1665)
• Andrew Wiles (Cambridge, 1953)

3 Verdadero … pero indemostrable

¿Podemos siempre probar una cosa de la que sabemos que es verdadera?
En 1931, en un genuino ‘coup de théâtre’, Kurt Gödel dio una respuesta negativa a esta pregunta con su famoso teorema de la “incompletitud”.
Gödel demostró que las nociones de verdad y probabilidad no son coincidentes, al descubrir una fórmula sobre números enteros que como tal es verdadera, pero de la que sin embargo no es posible ofrecer una demostración en la aritmética elemental.
Para mayor sorpresa de todos, Gödel mostró también, impulsado por el mismo espíritu, que dentro de la aritmética no es posible ni refutar ni probar que jamás vaya a llegarse a una contradicción.
La aritmética elemental es además indecidible. Por consiguiente, resulta imposible, por ejemplo, crear un programa informático capaz de comprobar si una determinada fórmula sobre números enteros es o no verdadera.

• Kurt Gödel (1906-1978)

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