2- Paver un sol - Tilings & Symmetries - 2

1 Sous les pavages, la liberté ?

Peut-on recouvrir un sol avec n’importe quelle forme de carreaux, sans trou ni chevauchement ?
Beaucoup de formes conviennent, mais pas toutes comme par exemple le pentagone régulier. Les pavages qui se répètent périodiquement par translations sont bien compris et leurs symétries internes permettent d’en distinguer 17 types. Leur étude relève de la théorie des groupes, due à Evariste Galois. Si l’on veut paver avec plus de liberté - de façon non périodique – l’ étude est loin d’être terminée. Ainsi, existe-t-il de tels pavages n’utilisant qu’une seule forme ? Mystère ! Les pavages trouvent des applications en mathématiques, en cristallographie, en théorie du codage...

• Sir Roger Penrose (né en 1931 à Colchester)
• Evariste Galois (1811-1832)

2 La nature est-elle symétrique ?

Pourquoi la double hélice de l’ADN tourne-t-elle toujours dans le même sens ? Pourquoi un visage et son image dans un miroir ne sont-ils pas superposables ?
De l’infiniment petit à l’infiniment grand, les symétries sont présentes dans de nombreuses modélisations mathématiques. Mais la nature présente rarement des symétries parfaites. Certaines nous échappent, d’autres sont commodes pour étudier leurs modèles. Les formes vivantes qui tournent à droite sont beaucoup plus fréquentes. Cet excès d’asymétrie pourrait s’expliquer par le hasard originel ou par l’asymétrie des forces physiques : la question reste ouverte.

3 Où suis-je ?

Combien faut-il de satellites en orbite autour de la Terre pour savoir à tout instant où l’on se trouve?
Trois suffisent : ils mesurent leur distance à l’objet repéré (un quatrième donne une correction qui améliore la précision). L’objet à localiser, s’il est muni d’un récepteur portable, communique avec les satellites par ondes hertziennes. Il se trouve à l’intersection des 3 sphères ayant pour centre chacun des satellites et pour rayon leur distance à l’objet. Les systèmes GPS (Global Positioning System) ou russe -et bientôt, le système européen Galileo- permettent ainsi à tout instant de savoir où l’on se trouve.

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